Chu kỳ của dao động Con_lắc

Chu kỳ của con lắc tăng lên theo θ0 tăng.

Chu kỳ dao động của một con lắc trọng lực đơn giản phụ thuộc vào chiều dài của nó, gia tốc trọng trường địa phương và ở một mức độ nhỏ dựa trên góc cực đại mà con lắc dao động so với phương thẳng đứng, θ0, được gọi là biên độ.[4] Chu kỳ này độc lập với khối lượng của quả nặng. Nếu biên độ được giới hạn bởi dao động nhỏ,[Note 1] chu kỳ T của một con lắc đơn, thời gian để hoàn thành một chu kỳ hoàn chỉnh, sẽ là:[5]

T ≈ 2 π L g θ 0 ≪ 1   r a d i a n ( 1 ) {\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1~\mathrm {radian} \qquad (1)\,}

Trong đó L {\displaystyle L} là chiều dài của con lắc và g {\displaystyle g} là gia tốc trọng trường địa phương.

Đối với dao động nhỏ, chu kỳ dao động xấp xỉ như nhau đối với các góc khác nhau: khoảng thời gian này không phụ thuộc vào biên độ. Tính chất này, được gọi là tính đẳng thời, là lý do mà các con lắc rất hữu ích cho việc đo thời gian.[6]. Sự dao động liên tiếp của con lắc, ngay cả khi thay đổi biên độ, vẫn mất cùng một khoảng thời gian.

Đối với các biên độ lớn hơn, chu kỳ tăng dần theo biên độ nên nó sẽ dài hơn so với phương trình (1). Ví dụ, ở biên độ θ0 = 23°, chu kỳ dao động lớn hơn 1% so với phương trình (1) dự đoán. Khoảng thời gian tăng đến vô cùng khi θ0 tiến tới 180°, vì tại giá trị θ0 = 180°, hệ đang trong trạng thái cân bằng không ổn định. Chu kỳ thực sự của một con lắc trọng lực đơn giản lý tưởng có thể được viết dưới nhiều hình thức khác nhau (xem Con lắc (toán học)), một ví dụ là chuỗi vô hạn:[7][8]

T = 2 π L g ( 1 + 1 16 θ 0 2 + 11 3072 θ 0 4 + ⋯ ) {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}

θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} đơn vị radian.

Sự khác biệt giữa khoảng thời gian thực này và khoảng thời gian cho các dao động nhỏ (1) ở trên được gọi là sai số vòng (circular error). Trong trường hợp của đồng hồ ông nội điển hình có con lắc có góc quệt là 6° và do đó biên độ là 3° (0,05 radian), chênh lệch giữa chu kỳ thực và xấp xỉ góc nhỏ (1) lên tới khoảng 15 giây mỗi ngày.

Đối với dao động nhỏ, con lắc xấp xỉ một dao động điều hòa và chuyển động của nó là một hàm của thời gian, t, là khoảng chuyển động điều hòa đơn giản:[9]

θ ( t ) = θ 0 cos ⁡ ( 2 π T t + φ ) {\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,t+\varphi \right)\,}

Đối với con lắc thực, thời gian thay đổi một chút theo các yếu tố như sự nổi và độ nhớt của không khí, khối lượng của dây hoặc thanh, kích thước và hình dạng của bob và cách nó được treo trên dây, và tính linh hoạt và độ căng của dây.[7][10] Trong các ứng dụng thực tế, việc hiệu chỉnh các yếu tố này có thể cần được áp dụng cho pt (1) để đưa ra con số chính xác.

Tài liệu tham khảo

WikiPedia: Con_lắc http://www.17centurymaths.com/contents/huygens/hor... http://www.17centurymaths.com/contents/huygenscont... http://excelunusual.com/archive/2010/09/pendulum/ http://books.google.com/?id=Lx0v2dhnZo8C&pg=PA27 http://www.juliantrubin.com/bigten/foucaultpendulu... http://www.oldandsold.com/articles02/clocks-r.shtm... http://www.sciencemaster.com/space/item/helio_4.ph... http://scienceworld.wolfram.com/physics/Pendulum.h... http://adsabs.harvard.edu/abs/1986AmJPh..54..112N http://adsabs.harvard.edu/abs/2004PhT....57b..13N